雖說這學期有一個重要的主題「航海」,但每個年級都作船就未免太無趣了些(雖然難度會不同......),加上這群四年級的孩子在上學期二進制密碼表的設計活動上還表現得不錯,因此決定這航海主題就放在數學領域中。

在苦思課程內容時,剛好斜眼餘光看到電視螢幕上飄動的鬼盜船旗幟......

旗幟不正是幾何圖形嘛!而且之前李老師一直有個遺憾,沒有時間讓小孩們設計出鑲嵌圖形,因此,這次可以刪減掉較難的部分單元活動,留更多的時間以鑲嵌圖形來設計船的身分代表「旗幟」或許是一個可以再嘗試的部分。

不過,鑲嵌圖形最簡單而基本的概念便是鑲嵌的圖形角度要能組成360度。要能發現到這要訣,首先各正多邊的內角和各角的角度就要能算得出來。

但四年級目前僅知一些特殊三角形和角度的性質,三角形內角為180度有的孩子還不知道,因此,就要先從這部分著手。

透過分割重組拼排,孩子們知道了三角形的三個角度加起來剛好等於180。

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以這概念為基礎,再去看各正多邊形最少可被分割成多少個三角形,之後就可以算出各正多邊形的內角和了。

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不過,徒法煉鋼,當然不是我們希望他們作的,雖然這是方法之一,卻絕對不是最有效率的計算方式。

為達到老師的要求,要從正方形算到正二十邊形的內角和(因為後面有個四十二邊形的挑戰題XD)過程中,在充滿哀號的"努力"之下,有小朋友發現了每增加一個邊,就可以多分割出一個三角形,便可以此類推;也有小朋友發現,分割出來的三角形個數和被分割的正多邊形邊數都相差2(這也是我們一般在算多邊形內角和的"公式"原由)。

很好,能發現到這關係,也達到老師的目的了,那對於你們彼此"互相幫忙"的偷懶方式就睜一隻眼閉一隻眼吧~

完成挑戰題後(當然知道關係後,那根本不足以構成"挑戰"的程度了),ㄜ,其實還不到完成......好奇寶寶們就開始棄兒不捨地問:然後呢?我們算這做什麼?還要算什麼?老師,我能算到正一百邊形嗎?balabala......

哼哼,別擔心,才不會到這就結束了呢!接下來才是真正踏入鑲嵌圖形的門檻......

其實數學與我們的生活息息相關,幾何圖形就更不用說了,有的規律的結構不斷重複出現造成的規律美感在建築外觀上是很常見的裝飾方式之一。而鑲嵌便是這麼一個具有規律的美感排列。也如起頭所言,要能找出、拼出鑲嵌,各多邊形角度的度數是一個非常重要的尋找線索。

先從簡單的正則鑲嵌圖形著手......

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如何找出正則鑲嵌圖形,其實就是要找出能把360整除的角度度數。

(不過也從這知道,四年級的學生因為還沒學因倍數,在這地方的理解就會出現程度的落差,或許還是五年級會較適切)

也因此,部分對數字較敏銳的同學便可以發現能拼出鑲嵌圖形的圖形個數,至多6個至少3個便可拼出正則鑲嵌圖形。而這概念其實可用於後續尋找檢核半正則鑲嵌圖形組合的方法之一(只是沒有人用到...)。

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雖然只有正三、四、六邊形是正則鑲嵌圖形(因為它們的角度度數可以整除360,為360的因數,但因為還沒有因倍數的概念,只能以除數、被除數說明,有點拗口...),但其實在拼排的過程中,小朋友就會發現由不同的正多邊形相排,有的也可以不留縫隙的往四面八方平鋪排列,也正好能噵入半正則鑲嵌圖形。

於是,下一步想當然爾,便是找出半正則鑲嵌圖形的組合囉!

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有時看著小朋友的操作真的是很有趣的事情,因為每個人的解決方式和風格各自迥異。

像兩位小女孩組是以計算角度為主,先從三角形先算,找出可以和三角形和為360的所有圖形,再換到以正方形為主......有規則邏輯的搜尋;而另兩組則直接用視覺圖形操作來判斷尋找,先以3個圖形來拼排,再以4個圖形拼排......以此類推,而數學有趣的地方也在於此,解決途徑不只一種,端看你喜歡選什麼樣的路前進。

不過計算完還是要實際操作,不然有的組合是無法鑲嵌平鋪的唷;當然,有的看似可以拼排,但其實以計算來看是無法拼出360的,因為紙片會有裁剪的誤差。

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像這(20, 5, 4)的組合,以計算的方式來算,可以和為360,但卻無法以這樣的規律重複不重疊且不斷平鋪延續到整個平面;

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而這則是看似可以組合為360,但實際計算起來卻是超過的!

因此,這些孩子們還要經檢查復合的動作才能完全確認答案。

到這,鑲嵌圖形的課程已進入後半段了,因為要再往後探討的多律不完全正則鑲嵌圖形對四年級而言較難,且這次的課程目標成果是設計出來的鑲嵌圖形,要達到這層次,只要習得正則鑲嵌和半正則鑲嵌的概念,就可以進行簡單的鑲嵌圖形設計。

正好今年在故宮有錯覺藝術大師艾雪的展覽,這位大師的作品有一段時期是以鑲嵌飾的手法進行創作,特別而有趣。

其實在那些看似複雜的鑲嵌作品下,艾雪是先以一個鑲嵌圖形為底(例如長方形、正方形、三角形),透過分割、平移、旋轉或鏡射的手法完成作品的。

因此在欣賞完艾雪大師的鑲嵌作品後,我們也以這樣的過程來嘗試創作鑲嵌圖形作品。

先來分割看看,這箭頭到底"原形"是什麼呢?

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是的!他的真面目是一個旋轉了45度的正方形!

而且也會發現這每個箭頭的面積大小就等於一個正方形的面積。

哦~原來基本方法之一便是這麼創作出鑲嵌圖形的!

再來便是進入創作的時間囉!

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不過,果然都會問一個問題......"老師我要畫什麼??"

其實剛開始嘗試,可以先隨心畫一個可鑲嵌的多邊形,再發揮創意加上幾筆讓多邊形形成另一種圖案......的撇步。

絕對無法一次到位畫出很厲害的作品,但卻是可以透過一步一步地修改接近目標,因此...別想太多的先畫出一個可鑲嵌的多邊形吧!

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正努力思索那多邊形到底是不是能鑲嵌?又該如何鑲嵌?......

加油吧!!!老師也要來玩玩看了~~

  

 

 

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